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尺度变化(Rescaling)

许多技术对数据尺度很敏感。例如，设想一下，你有包含数百数据科学家身高(height)、体重(weight)的数据集，你正在尝试对其进行聚类。

直观上，我们想要聚集区表示彼此靠近的点集，这个意思是我们需要点之间距离的概念。我们已经掌握了欧式距离(Euclidean distance)函数，所以一个自然的方法可以把(height, weight)对看成二维空间里的点集。考虑下面的列表：

如果我们用英尺(inches)测量身高，那么B的最近的邻居就是A：

a_to_b = distance([63, 150], [67, 160]) # 10.77a_to_c = distance([63, 150], [70, 171]) # 22.14b_to_c = distance([67, 160], [70, 171]) # 11.40

然而，如果我们用厘米(centimeters)测量身高，那么B的最近邻居就是C：

a_to_b = distance([160, 150], [170.2, 160]) # 14.28a_to_c = distance([160, 150], [177.8, 171]) # 27.53b_to_c = distance([170.2, 160], [177.8, 171]) # 13.37

很显然，如果改变单位能改变结果，这是有问题的。为了解决这个问题，我们有时候改变数据的尺度，以便每个维度的均值为0，标准差为1。这种方法能够有效消除单位的影响。

首先，我们需要计算每一维度的均值和标准差：

def scale(data_matrix):    """returns the means and standard deviations of each column"""    num_rows, num_cols = shape(data_matrix)    means = [mean(get_column(data_matrix,j))            for j in range(num_cols)]    stdevs = [standard_deviation(get_column(data_matrix,j))            for j in range(num_cols)]    return means, stdevs

使用它们创建新的数据矩阵：

def rescale(data_matrix):    """rescales the input data so that each column    has mean 0 and standard deviation 1    leaves alone columns with no deviation"""    means, stdevs = scale(data_matrix)    def rescaled(i, j):        if stdevs[j] > 0:            return (data_matrix[i][j] - means[j]) / stdevs[j]        else:            return data_matrix[i][j]    num_rows, num_cols = shape(data_matrix)    return make_matrix(num_rows, num_cols, rescaled)